PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT-SIFATNYA

 

Pertidaksamaan Eksponen

Rumus-Rumus Penting Pertidaksamaan Eksponen

A. Untuk $0<a<1$, jika:
   $1.a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)>g\left(x\right)$
   $2.a^{f\left(x\right)}\le a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$
   $3.a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)<g\left(x\right)$
   $4.a^{f\left(x\right)}\ge a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)\le g\left(x\right)$
B. Untuk $a>1$, jika:
   $1.a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)<g\left(x\right)$
   $2.a^{f\left(x\right)}\le a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)\le g\left(x\right)$
   $3.a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)>g\left(x\right)$
   $4.a^{f\left(x\right)}\ge a^{g\left(x\right)}\to f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$
$aadalahbilanganpokok.$

Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen

1.Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen $\begin{array}{c}{9}^{2x-4}\ge {\left(\frac{1}{27}\right)}^{x^2-4}\end{array}$ adalah ...
A.   {x / -2 ≤ x ≤ 10/3}
B.   {x / -10/3 ≤ x ≤ 2}
C.   {x / x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2}
D.   {x / x ≤ -2  atau  x ≥ 10/3}
E.   {x / -10/3 ≤ x ≤ -2}

Pembahasan :
$\begin{array}{cc}{9}^{2x-4}& \ge {\left(\frac{1}{27}\right)}^{x^2-4}\\ {\left(3^2\right)}^{2x-4}& \ge {\left(3^{-3}\right)}^{x^2-4}\\ 3^{2(2x-4)}& \ge 3^{-3(x^2-4)}\\ 2(2x-4)& \ge -3(x^2-4)\\ 4x-8& \ge -3x^2+12\\ 3x^2+4x-20& \ge 0\end{array}$

Pembuat nol :
3x² + 4x - 20 = 0
(3x + 10)(x - 2) = 0
x = -10/3  atau  x = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2
jawaban:c

2.Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5^2x - 6.5^x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah ...
A.   1 < x < 2
B.   5 < x < 25
C.   x < -1  atau  x > 2
D.   x < 1  atau  x > 2
E.   x < 5  atau  x > 25

Pembahasan :
5^2x  -  6.5^x+1  +  125  >  0
(5^x)²  -  6.5^x.5¹  +  125  >  0
(5^x)²  -  30(5^x)  +  125  >  0

Misalkan y = 5^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² - 30y + 125 > 0

Pembuat nol :
y² - 30y + 125 = 0
(y - 5)(y - 25) = 0
y = 5  atau  y = 25

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 5  atau  y > 25

Karena y = 5^x, maka penyelesaiannya menjadi
5^x < 5  atau  5^x > 25
5^x < 5¹  atau  5^x > 5²
x < 1  atau  x > 2

Jawaban : D

3.Himpunan penyelesaian dari 3^2x - 6.3^x < 27 adalah ...
A.   {x / x < -3, x ∈ R}
B.   {x / x < -2, x ∈ R}
C.   {x / x < 2, x ∈ R}
D.   {x / x > 2, x ∈ R}
E.   {x / x > 3, x ∈ R}

Pembahasan :
3^2x  -  6.3^x  <  27
(3^x)²  -  6(3^x)  -  27  <  0

Misalkan y = 3^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² - 6y - 27 < 0

Pembuat nol :
y² - 6y - 27 = 0
(y + 3)(y - 9) = 0
y = -3  atau y = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
-3 < y < 9

atau dapat pula ditulis
y > -3  dan  y < 9

Karena y = 3^x, maka
3^x > -3  dan  3^x < 9
3^x > -3  dan  3^x < 3²
x ∈ R    dan  x < 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x ∈ R  dan  x < 2} = {x < 2}

Jawaban : C

sekian pembahasan tentang pertidaksamaan eksponen,SEMOGA BERMAFAAT terima kasih...

daftar pustaka:

https://www.maretong.com/2019/08/soal-dan-pembahasan-sifat-persamaan-dan-pertidaksamaan-eksponen.html

https://smatika.blogspot.com/2018/02/pembahasan-soal-un-persamaan-dan.html

Jawaban : C