SOAL PERSAMAAN EKSPONEN DAN SIFATNYA

 assalamu'alaikum wr. wb. 

saya Shabitta Syalwa Nabilla kelas x mipa 3 akan memberikan beberapa soal tentang persamaan eksponen beserta pembahasannya. Dan berikut beberapa soalnya:

Soal Nomor 1
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{x+1}=8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                        C. $0$                       E. $-2$
B. $1$                        D. $-1$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^p$ yang berarti $f\left(x\right)=p$.
$\begin{array}{cc}{2}^{x+1}& =8\\ 2^{x+1}& =2^3\\ \Rightarrow x+1& =3\\ x& =2\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x=2$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2-x}=27$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$                         C. $0$                       E. $-2$
B. $1$                         D. $-1$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^p$ yang berarti $f\left(x\right)=p$.
$\begin{array}{cc}{3}^{2-x}& =27\\ 3^{2-x}& =3^3\\ \Rightarrow 2-x& =3\\ x& =-1\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x=-1$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Himpunan penyelesaian dari persamaan $2^x=\frac{1}{32}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{-5\}$                 C. $\left\{0\right\}$                   E. $\left\{5\right\}$
B. $\{-3\}$                 D. $\left\{3\right\}$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^p$ yang berarti $f\left(x\right)=p$.
$\begin{array}{cc}{2}^x& =\frac{1}{32}\\ 2^x& =2^{-5}\\ \Rightarrow x& =-5\end{array}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\{-5\}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Penyelesaian dari persamaan $4^{x+1}=128$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=1,5$                         D. $x=3,0$         
B. $x=2,0$                         E. $x=3,5$
C. $x=2,5$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^p$ yang berarti $f\left(x\right)=p$.
$\begin{array}{cc}{4}^{x+1}& =128\\ (2^2{)}^{x+1}& =2^7\\ 2^{2x+2}& =2^7\\ \Rightarrow 2x+2& =7\\ 2x& =5\\ x& =\frac{5}{2}=2,5\end{array}$
Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah $x=2,5$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $5^{4+x}=0,2^x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                      C. $-3$                    E. $2$
B. $-4$                      D. $-2$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^p$ yang berarti $f\left(x\right)=p$.
$\begin{array}{cc}{5}^{4+x}& =0,2^x\\ 5^{4+x}& ={\left(\frac{1}{5}\right)}^x\\ 5^{4+x}& =5^{-x}\\ \Rightarrow 4+x& =-x\\ 2x& =-4\\ x& =-2\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x=-2$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca : 

Soal Nomor 6
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{5}{2}\right)}^{x+1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{3}{2}$                  C. $0$                       E. $-\frac{3}{2}$
B. $\frac{1}{2}$                  D. $-\frac{1}{2}$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^p$ yang berarti $f\left(x\right)=p$.
$\begin{array}{cc}{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{1}{2}}& ={\left(\frac{5}{2}\right)}^{x+1}\\ {\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{1}{2}}& ={\left(\frac{2}{5}\right)}^{-x-1}\\ \Rightarrow \frac{1}{2}& =-x-1\\ \frac{3}{2}& =-x\\ x& =-\frac{3}{2}\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x=-\frac{3}{2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Persamaan yang ekuivalen dengan persamaan $8^x=2^{y+1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3x-y-1=0$
B. $3x-y+1=0$
C. $3x+y-1=0$
D. $x-3y-1=0$
E. $x+3y-1=0$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}$ yang berarti $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
$\begin{array}{cc}{8}^x& =2^{y+1}\\ 2^{3x}& =2^{y+1}\\ \Rightarrow 3x& =y+1\\ 3x-y-1& =0\end{array}$
Jadi, persamaan yang ekuivalen dengan persamaan tersebut adalah $3x-y-1=0$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Persamaan kuadrat yang ekuivalen dengan persamaan $3^{x^2-5x-3}=27$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2-5x-3=0$
B. $x^2-5x-6=0$
C. $x^2-5x=0$
D. $x^2+5x-6=0$
E. $x^2+5x-3=0$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^p$ yang berarti $f\left(x\right)=p$.
$\begin{array}{cc}{3}^{x^2-5x-3}& =27\\ 3^{x^2-5x-3}& =3^3\\ \Rightarrow x^2-5x-3& =3\\ x^2-5x-6& =0\end{array}$
Jadi, persamaan yang ekuivalen dengan persamaan tersebut adalah $x^2-5x-6=0$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Penyelesaian dari persamaan $2^{3x-2}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-9}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-4$                              D. $x=2$
B. $x=-2$                              E. $x=4$
C. $x=0$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}$ yang berarti $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
$\begin{array}{cc}{2}^{3x-2}& ={\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-9}\\ 2^{3x-2}& =(2^{-2}{)}^{x-9}\\ 2^{3x-2}& =2^{-2x+18}\\ \Rightarrow 3x-2& =-2x+18\\ 3x+2x& =18+2\\ 5x& =20\\ x& =4\end{array}$
Jadi, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $x=4$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $4^{2x-3}+{16}^{x-1}=\frac{5}{64}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$                          C. $0$                      E. $4$
B. $-2$                          D. $2$

Pembahasan

Persamaan di atas dapat disederhanakan sehingga memunculkan bentuk $a^{f\left(x\right)}=a^p$.
$\begin{array}{cc}{4}^{2x-3}+{16}^{x-1}& =\frac{5}{64}\\ 4^{2x-3}+(4^2{)}^{x-1}& =\frac{5}{4^3}\\ 4^{2x-3}+4^{2x-2}& =5\cdot 4^{-3}\\ 4^{2x}\cdot 4^{-3}+4^{2x}\cdot 4^{-2}& =5\cdot 4^{-3}\\ \text{Kali}{4}^3\text{pada kedua}& \text{ruas}\\ 4^{2x}+4^{2x}\cdot 4& =5\\ (1+4)\cdot 4^{2x}& =5\\ 5\cdot 4^{2x}& =5\\ 4^{2x}& =1\\ 4^{2x}& =4^0\\ \Rightarrow 2x& =0\\ x& =0\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x=0$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Nilai $n$ yang memenuhi persamaan ${\left\{{\left(\frac{1}{25}\right)}^{2n+6}\right\}}^{\frac{1}{6}}=5^{-4}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                      C. $5$                     E. $9$
B. $3$                      D. $7$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f\left(n\right)}=a^p$ yang berarti $f\left(n\right)=p$.
$\begin{array}{cc}{\left\{{\left(\frac{1}{25}\right)}^{2n+6}\right\}}^{\frac{1}{6}}& =5^{-4}\\ {\left\{\right(5^{-2}{)}^{2n+6}\}}^{\frac{1}{6}}& =5^{-4}\\ 5^{-2(2n+6)\left(\frac{1}{6^3}\right)}& =5^{-4}\\ 5^{-\frac{2n+6}{3}}& =5^{-4}\\ \Rightarrow -\frac{2n+6}{3}& =-4\\ -(2n+6)& =-12\\ 2n+6& =12\\ 2n& =6\\ n& =3\end{array}$
Jadi, nilai $n$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x=4$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${25}^{x^2-5x+7}={\left(\frac{1}{25}\right)}^{x-x^2-15}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$                    C. $-2$                      E. $6$
B. $-4$                    D. $4$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}$ yang berarti $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
$\begin{array}{cc}{25}^{x^2-5x+7}& ={\left(\frac{1}{25}\right)}^{x-x^2-15}\\ {25}^{x^2-5x+7}& =({25}^{-1}{)}^{x-x^2-15}\\ {25}^{x^2-5x+7}& ={25}^{x^2-x+15}\\ \Rightarrow x^2-5x+7& =x^2-x+15\\ -5x+x& =15-7\\ -4x& =8\\ x& =-2\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x=-2$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Himpunan penyelesaian dari persamaan ${10}^{2-3x}={10}^{5x-6}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{\right\}$                  C. $\left\{1\right\}$                    E. $\{1,2\}$
B. $\left\{0\right\}$                  D. $\left\{2\right\}$

Pembahasan

Persamaan di atas berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}$ yang berarti $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
$\begin{array}{cc}{10}^{2-3x}& ={10}^{5x-6}\\ \Rightarrow 2-3x& =5x-6\\ -3x-5x& =-6-2\\ -8x& =-8\\ x& =1\end{array}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah $\left\{1\right\}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 14
Penyelesaian persamaan $3^{2x+1}={81}^{x-2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $4\frac{1}{2}$                E. $16$
B. $4$                     D. $6\frac{1}{2}$

Pembahasan

Persamaan tersebut berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f\left(x\right)=p$.
$\begin{array}{cc}{3}^{2x+1}& ={81}^{x-2}\\ 3^{2x+1}& =(3^4{)}^{x-2}\\ 3^{2x+1}& =3^{4x-8}\\ \Rightarrow 2x+1& =4x-8\\ 2x-4x& =-8-1\\ -2x& =-9\\ x& =\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}\end{array}$
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah $4\frac{1}{2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Jika $x$ memenuhi persamaan ${\left(\frac{1}{9^{2x}}\right)}^{\frac{1}{3}}=\frac{({27}^x{)}^2}{{81}^{x-2}}$, maka nilai $(-5x)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-12$                C. $0$                E. $12$
B. $-8$                  D. $8$

Pembahasan

Persamaan tersebut berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f\left(x\right)=p$.
$\begin{array}{cc}{\left(\frac{1}{9^{2x}}\right)}^{\frac{1}{3}}& =\frac{({27}^x{)}^2}{{81}^{x-2}}\\ \left(\right(3^{-2}{)}^{2x}{)}^{\frac{1}{3}}& =\frac{(3^{6x}}{3^{4(x-2)}}\\ 3^{-\frac{4}{3}x}& =3^{6x-4x+8}\\ 3^{-\frac{4}{3}x}& =3^{2x+8}\\ \Rightarrow -\frac{4}{3}x& =2x+8\\ \text{Kali}3& \text{pada kedua ruas}\\ -4x& =6x+24\\ -10x& =24\\ -5x& =12\end{array}$
Jadi, nilai dari $(-5x)=12$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Nilai $x$ yang $\frac{\sqrt[3]{34^{5-x}}}{8}=\frac{1}{2^{2x+1}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$                  C. $-\frac{1}{2}$                E. $2$
B. $-1$                  D. $\frac{1}{4}$

Pembahasan

Persamaan tersebut berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^p$ yang memiliki penyelesaian dari persamaan $f\left(x\right)=p$.
$\begin{array}{cc}\frac{\sqrt[3]{34^{5-x}}}{8}& =\frac{1}{2^{2x+1}}\\ \frac{{\left(\right(2^2{)}^{5-x})}^{\frac{1}{3}}}{2^3}& =(2^{-1}{)}^{2x+1}\\ 2^{\frac{2}{3}(5-x)-3}& =2^{-2x-1}\\ \Rightarrow \frac{2}{3}(5-x)-3& =-2x-1\\ \frac{2}{3}(5-x)& =-2x+2\\ 2(5-x)& =3(-2x+2)\\ 10-2x& =-6x+6\\ -2x+6x& =6-10\\ 4x& =-4\\ x& =-1\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x=-1$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Jumlah semua akar real dari persamaan $3^{2x^2-7x-7}=9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1,5$                    C. $3,5$                  E. $5,5$
B. $2,5$                    D. $4,5$

Pembahasan

Persamaan di atas dapat diubah sehingga berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^p$ yang ekuivalen dengan $f\left(x\right)=p$.
$\begin{array}{cc}{3}^{2x^2-7x-7}& =9\\ 3^{2x^2-7x-7}& =3^2\\ \Rightarrow 2x^2-7x-7& =2\\ 2x^2-7x-9& =0\end{array}$
Kita peroleh sebuah persamaan kuadrat. Diskriminan persamaan kuadrat ini dapat dicari menggunakan rumus $D=b^2-4ac$. Kita dapatkan
$\begin{array}{cc}D& =(-7{)}^2-4(2\left)\right(-9)\\ & =49+72\\ & =121>0\end{array}$
Karena diskriminannya bernilai lebih dari $0$, maka akar persamaan kuadratnya adalah dua bilangan real (nyata) berbeda.
Tanpa pemfaktoran, kita dapat menentukan jumlah akar real dengan menggunakan rumus
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}\Rightarrow x_1+x_2=-\frac{-7}{2}=3,5$
Jadi, jumlah semua akar real dari persamaan eksponen di atas adalah $3,5$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 18
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x+3}=\sqrt[3]{3{27}^{x-5}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-8$                      C. $-4$                     E. $8$
B. $-6$                      D. $0$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat pangkat, diperoleh
$\begin{array}{cc}{3}^{2x+3}& =\sqrt[3]{3(3^3{)}^{x-5}}\\ 3^{2x+3}& =3^{3\times (x-5)\times \frac{1}{3}}\\ 3^{2x+3}& =3^{x-5}\\ 2x+3& =x-5\\ 2x–x& =-5-3\\ x& =-8\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $x=-8$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika diketahui $3^{x+2}=6^{x-1}$, maka nilai dari $2^x+3^{\frac{6}{x-1}}=\cdots \cdot$
A. $58$                   C. $54$                E. $50$
B. $56$                   D. $52$     

Penyelesaian

$\begin{array}{cccc}{3}^{x+2}& =6^{x-1}& & \\ 9\cdot 3^x& =\frac{1}{6}\cdot (2\cdot 3{)}^x& & \\ 54\cdot 3^x& =2^x\cdot 3^x& & \\ 2^x& =54& & \left(★\right)\\ 2^x& =2\cdot 3^3& & \\ 2^{x-1}& =3^3& & \\ 2^{2(x-1)}& =3^6& & \\ 2^2& =3^{\frac{6}{x-1}}& & \left(★\right)\end{array}$
Dengan demikian, kita peroleh
$2^x+3^{\frac{6}{x-1}}=54+2^2=58$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 20
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian persamaan ${\left(\frac{4}{9}\right)}^{x^2-3}{\left(\frac{8}{27}\right)}^{1-x}=\frac{3}{2}$, maka $(x_1-x_2{)}^2=\cdots \cdot$
A. $\frac{9}{4}$                        C. $\frac{41}{4}$                E. $25$
B. $\frac{25}{4}$                      D. $\frac{25}{2}$

Pembahasan

Persamaan di atas dapat diubah sehingga berbentuk $a^{f\left(x\right)}=a^p$ yang ekuivalen dengan $f\left(x\right)=p$.
$\begin{array}{cc}{\left(\frac{4}{9}\right)}^{x^2-3}{\left(\frac{8}{27}\right)}^{1-x}& =\frac{3}{2}\\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^{2(x^2-3)}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{3(1-x)}& ={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}\\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x^2-6}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{3-3x}& ={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}\\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^{(2x^2-6)+(3-3x)}& ={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}\\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x^2-3x-3}& ={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}\\ \Rightarrow 2x^2-3x-3& =-1\\ 2x^2-3x-2& =0\\ (2x+1)(x-2)& =0\end{array}$
Diperoleh dua akar, yaitu
$2x+1=0\Rightarrow x_1=-\frac{1}{2}$
$x-2=0\Rightarrow x_2=2$
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}(x_1-x_2{)}^2& ={(-\frac{1}{2}-2)}^2\\ & ={\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}\end{array}$
Catatan: Perhatikan bahwa $(x_1-x_2{)}^2=(x_2-x_1{)}^2$, artinya hasilnya selalu sama meskipun nilai $x_1$dan $x_2$ ditukar.
(Jawaban B)

semoga bermanfaat, Terima kasih

w assalamu'alaikum wr. wb

daftar pustaka:

https://mathcyber1997.com/soal-pembahasan-persamaan-pangkat-sederhana/