PENGERTIAN SKALAR DAN VEKTOR BESERTA CONTOH SOALNYA

 

Pengertian Vektor

Sumber: Dokumentasi penulis

Vektor adalah segmen garis yang memiliki nilai dan mempunyai arah, penggunaan tanda (–) negatif pada nilai vektor akan berpengaruh pada arah vektor. Contohnya, vektor yang dinyatakan dengan nilai positif ke arah kanan. Begitu pun sebaliknya, vektor dengan arah ke kiri akan mempunyai nilai (–) negatif. Simbol vektor biasanya berupa ruas garis dengan anak panah pada salah satu ujungnya seperti gambar berikut ini :

Sumber: Dokumetasi Penulis

Panjang garis menunjukkan panjang vektor tersebut dari titik pangkal P ke titik ujung Q, maka vektor disebut sebagai vektor PQ. Panjang vektor PQ ini dilambangkan dengan |PQ|. Selain itu, sebuah vektor dapat ditulis :

• Huruf kecil yang dicetak tebal. Seperti a, b, c dan sebagainya.
• Huruf kecil yang di atas huruf itu dibubuhi tanda panah. Seperti pada gambar di atas.

Contoh

Gambarkanlah vektor b dari titik pangkal Y ke titik ujung Z yang bernilai negaif !

Penyelesaian:

Sumber: Dokumentasi Penulis

Gambar di atas adalah vektor b dari titik pangkal Y ke titik ujung Z yang bernilai negaif. yang membedakan nilai positif dan negatif adalah arah vektornya.

Panjang Vektor

Agar lebih jelas berikut adalah gambar dari vektor a, b, dan c pada koordinat Cartesius :

Sumber: Dokumentasi Penulis

Sumber: Dokumetasi penulis

Contoh soal

Tentukanlah panjang vektor berikut ini !

1. c (3, 4)
2. d (5, 7)
3. e (7, 9)
4. f (3, 4, 5)
5. g (4, 5, 7)
6. h (5, 7, 9)

Penyelesaian:

Sumber: Dokumentasi Penulis

Sudut antar Vektor dalam Ruang Berdimensi Dua

Vektor dalam ruang berdimensi dua adalah vektor dengan komponen dua dimensi yaitu x, dan y. Misalkan terdapat dua vektor dua dimensi, yaitu :

Sumber: Dokumentasi Penulis

Jika θ adalah besar sudut antara vektor a dan vektor b, maka kosinus sudut kedua vektor tersebut dinyatakan dengan rumus :

Sumber: Dokumentasi penulis

Contoh soal

Sumber: Dokumentasi penulis

Sudut antar Vektor dalam Ruang Berdimensi tiga

Vektor dalam ruang berdimensi tiga adalah vektor dengan komponen tiga dimensi yaitu x, y, dan z. misalkan terdapat dua vektor tiga dimensi, yaitu :

Sumber: Dokumentasi penulis

Contoh soal :

Sumber: Dokumentasi penulis

Pengertian skalar

Dalam matematika, arti skalar bergantung kepada konteksnya; kata ini bisa berkaitan dengan bilangan real atau bilangan kompleks atau bilangan rasional. Secara umum, ketika ruang vektor dalam medan F dipelajari, maka F disebut medan skalar. Dalam aljabar matriks, skalar didefinisikan sebagai matriks berordo 1×1 dan memiliki sifat-sifat seperti bilangan belaka.

Skalar dan Vektor

Besaran dibagi menjadi dua jenis, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki nilai yang mutlak, seperti panjang, luas, volume, massa, dan waktu. Besaran skalar tidak memiliki arah negatif, semua bernilai positif.

Sementara, besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai yang mutlak dan arah tertentu, seperti gaya, kecepatan, dan percepatan. Gaya yang bernilai negatif adalah gaya gesek karena melawan gaya yang bekerja pada suatu benda, percepatan yang bernilai negatif adalah perlambatan seperti kereta yang direm untuk berhenti.

Berikut tabel klasifikasi antara skalar dan vektor !

BESARAN SKALAR	BESARAN VEKTOR
Panjang Luas Volume Massa Waktu Kelajuan Jarak Daya Usaha Energi Kinetik Energi Potensial	Gaya Kecepatan Percepatan Implus Berat Perpindahan Moment Gaya Momentum Tegangan Permukaan Gaya Gesek Medan Listrik

Tabel di atas merupakan tabel klasifikasi antara besaran skalar dan besaran vektor.

Operasi Aljabar Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Sumber: Dokumentasi Penulis

Perhatikanlah gambar vektor a, b, dan c pada koordinat Cartesius berikut ini !

Untuk a dan b vektor-vektor pada dua dimensi, berlaku :

Sumber: Dkumentasi penulis

Perkalian Skalar dengan Vektor

Jika k skalar tak nol dan vektor u = (u₁, u₂ , …, u_n), maka ku = (ku₁, ku₂, …, ku_n).

Dalam perkalian skalar dengan vektor ini, jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u. Adapun jika k < 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u.

Sumber: Dokumentasi penulis

Sifat-sifat Operasi Hitung pada Vektor

Jika a, b, dan c merupakan vektor-vektor, kemudian k dan l skalar tak nol maka berlaku hubungan berikut :

a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = 0 + a = a a + (–a) = 0

(kl)a = k(la) k (a+b) = ka + kb (k+l)a = ka + la 1a = a

Perkalian antara Dua Vektor

Hasil kali titik (dot product)

Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama, yaitu ruang yang menghasilkan skalar. Jika v dan w vektor pada ruang/dimensi yang sama, θ sudut diantara v dan w, maka hasil kali titik antara dua vektor :

Sumber: Dokumentasi penulis

Beberapa sifat perkalian titik adalah:

a · b = b · a

a · (b + c ) = (a · b )+ (a · c )

k(a · b ) = ka · b = a · kb, dimana k ∈ R

Proyeksi Ortogonal

Vektor ortogonal adalah vektor-vektor yang tegak lurus, v · w = 0 dimana harus ada referensi suatu vektor lain, misal a. Menguraikan u menjadi 2 bagian yaitu sejajar dengan suatu vektor a dan tegak lurus terhadap vektor a.

Sumber: Dokumentasi penulis

Hasil Kali Silang (cross product)

Hasil kali silang merupakan operasi antara dua vektor pada ruang tiga dimensi yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

Sumber: Dokumentasi penulis

Sumber: Dokumentasi penulis

Cara menghitung :

Sumber: Dokumentasi penulis

Contoh soal

Jika vektor c = (8, 9) dan d = (7, 3), tentukanlah operasi vektor berikut:

c + d                     

c – d

Penyelesaian:

c + d = (8, 9) + (7, 3) = (15, 12)

c – d = (8, 9) – (7, 3) = (1, 4)

Jadi operasi vektor c + d dan c – d berturut-turut adalah (15, 12) dan (1, 4).

SEKIAN MATERI PEMBELAJARAN TENTANG VEKTOR DAN SKALAR KALI INI SEMOGA BERMANFAAT TERIMAKASIHH...

SUMBER:

https://id.wikipedia.org/wiki/Skalar

https://tambahpinter.com/vektor-matematika/