REMEDIAL PTS SCHOOLOGY SEMESTER GENAP

pada tanggal

 

PTS SCHOOLOGY MATEMATIKA PEMINATAN SEMESTER GENAP KELAS X 2020/2021

Nama: Shabitta Syalwa Nabilla

Kelas: X MIPA 3

1.      Jika vector  = ,  =, dan , ,maka hasil dari operasi vector  + 2-3 adalah

Jawab :

a + 2b – 3c

= https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-1%5C%5C13%5C%5C-2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D

= (–1    13     –2)

=  (D)

 

2.      Diketahui  =   = 1 dan = 1. Panjang vector   + adalah

Jawab:

|a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2-2.a.b cos a

     1^2=[akar 3]^2-2ab cos a

           1=3+1-2ab cos a

              1=4-2ab cos a

               2ab cos a= 4-1

                 2ab cos a= 3

     |a+b|^2= |a|^2+|b|^2 +2ab cos a

        |a+b|^2 =[akar 3]^2 +1^2 +3

              |a+b|^2= 3+1+3

                 |a+b|^2=7

  (C)

                 

 

3.      Diketahui   =2   – 3   + 4 dan   = 5  . Nilai  .  adalah

Jawab:

a = 2i - 3j + 4k,

b = 5j + 5k = 0i + 5j + 5k
ab = 2(0) + (-3)(5) + 4(5) = 0 - 15 + 20 = 5 (B)

 

4.      Diketahui = 2,jika = 4 dan   = 6 maka   adalah

Jawab:

|a+b|= 2 akar 19

    |a+b|^2=[2 akar 19]^2

    |a|^2+2ab+|b|^2=4[19]

     4^2+2ab+36=76

    2ab=24



    |a-b|^2=|a|^2-2ab+|b|^2

    |a-b|^2=4^2-24+6^2

    |a-b|^2=28

    |a-b|    = akar 28 =    (A)

 

5.      Diketahui vector   - 3  +  ,  = p  + 2   -  =   -   + 3   Jika   tegak lurus terhadap vector    =

Jawab:

 b x c = 0
     (p,2,-1) x (1,-1,3) = 0
     (p,-2,-3) = 0
      p-5=0
      p = 5

       jadi b=5i+2j-k


      Vektor a-b-c =
     (2,-3,1)-(5,2,-1)-(1,-1,3) 

     (2-5-1, -3-2-(-1), 1-(-1)-3)

     (-3-1, -5+1, 2-3)

     (-4, -4, -1)

       -4i -4j –k (C)

 

6.      Jika sudut antara vector  =  +    + p dan vector  -    + p  adalah 60  maka p adalah

Jawab:

a . b = |a| |b| Cos 60
p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = √5
P = - √5

. (D)

 

7.      Titik A (3,2,-1) B (1,-2,1) dan C (7, p-1, -5) segaris untuk nilai p =

Jawab:

A = (3, 2, -1)
B = (1, -2, 1)
C = (7,(p - 1), -5)

panjang AB = B - A
= (1, -2, 1) - (3, 2, -1)
= (-2, -4, 2)

panjang BC = C - B
= (7, (p - 1), -5) - (1, -2, 1)
= (6, (p + 1), -6)

kita cari konstanta yang mengubah (-2, -4, 2) menjadi (6, (p + 1), -6)

misal kita ambil vektor dari sumbu x
-2 * x = 6
x = 6 / -2
 x = -3

maka,

-4 * x = (p + 1)
-4 * -3 = p + 1
12 = p + 1
p = 12 - 1
p = 11 (B)

 

8.      Diketahui titik A (3,1,-4) , B (3,-4,6), dan C (-1,5,4). Titik P membagi AB, sehingga  AP:PB = 3:2 maka vector yang diwakili oleh PC adalah

Jawab:

AP : PB = 3 : 2, maka

p = https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3.b%20%2B%202.a%7D%7B3%20%2B%202%7D

p = https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3(3%2C%20-4%2C%206)%20%2B%202(3%2C%201%2C%20-4)%7D%7B5%7D

p = https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B(9%2C%20-12%2C%2018)%20%2B%20(6%2C%202%2C%20-8)%7D%7B5%7D

p = https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B(15%2C%20-10%2C%2010)%7D%7B5%7D

p = (3, –2, 2)

Jadi vektor PC

= c – p

= https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-1%5C%5C5%5C%5C4%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20-%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D3%5C%5C-2%5C%5C2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D

= https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-4%5C%5C7%5C%5C2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D

= –4i + 7j + 2k

= (E)

 

9.      Panjang proyeksi orthogonal vector   =  pada vector  =  adalah 8.  nilai p yang tepat adalah

Jawab:

a . b = https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-2%5C%5C8%5C%5C4%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%5C%3A%20.%20%5C%3A%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0%5C%5Cp%5C%5C4%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D

a . b = –2(0) + 8p + 4(4)

a . b = 8p + 16

Panjang vektor b

|b| = https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B0%5E%7B2%7D%20%2B%20p%5E%7B2%7D%20%2B%204%5E%7B2%7D%7D

|b| = https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7Bp%5E%7B2%7D%20%2B%2016%7D

Panjang proyeksi vektor a pada b = 8

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%7C%5Cfrac%7Ba%20%5C%3A%20.%20%5C%3A%20b%7D%7B%7Cb%7C%7D%20%5Cright%7C = 8

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%7C%5Cfrac%7B8p%20%5C%3A%20%2B%20%5C%3A%2016%7D%7B%5Csqrt%7Bp%5E%7B2%7D%20%2B%2016%7D%7D%20%5Cright%7C = 8

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%7C%5Cfrac%7B8(p%20%5C%3A%20%2B%20%5C%3A%202)%7D%7B%5Csqrt%7Bp%5E%7B2%7D%20%2B%2016%7D%7D%20%5Cright%7C = 8

8(p + 2) = 8√(p² + 16)

(p + 2) = √(p² + 16)

Kedua ruas dikuadratkan

(p + 2)² = (p² + 16)

p² + 4p + 4 = p² + 16

4p = 16 – 4

4p = 12

p = 3(C)

 

10.  Diberikan vector =   , =   dan  =  . Jika vector tegak lurus vector  ,maka hasil dari () adalah

Jawab:

a . b = 0
(p, 2, -1) . (4, -3, 6) = 0
p(4) + 2(-3) + (-1)(6) = 0
4p - 6 - 6 = 0
4p = 12
p = 3

a - b
= (p, 2, -1) - (4, -3, 6)
= (3, 2, -1) - (4, -3, 6)
= (-1, 5, -7)

2c = 2(2, -1, 3) = (4, -2, 6)

(a - b) . 2c
= (-1, 5, -7) . (4, -2, 6)
= -1(4) + 5(-2) + (-7)(6)
= -4 - 10 - 42
= -56 (D)

 

11.  Diketahui titik A (1,2,3), B(3,3,1), dan C (7,5,-3). Jika titik A ,B,C segaris (kolinear), maka perbandingan  adalah

Jawab:

AB = b - a
     = (3,3,1) - (1,2,3)
     = (2,1,-2)

BC = c - b
     = (7,5,-3) - (3,3,1)
     = (4,2,-4)

      AB : BC
(2,1,-2) : (4,2,-4)
(2,1,-2) : 2(2,1,-2)
       1  :  2

Jadi, AB : BC = 1 : 2 (A)

 

12.  Jika vector tak nol  dan   memenuhi  maka vector  dan   saling

Jawab:

|a+b| = √|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x

|a-b| = √|a|² + |b|² - 2 |a| |b| . cos x

√|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x = √|a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

AKAR NYA HILANG JADI

|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cosx = |a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

=> |a| |b| . cos x + 2 |a| |b| . cos x = 0

=> 4 |a| |b| . cos x = 0

=> 0/4 |a|.|b|

=> 0

cos x = 0 = 90°

jadi a dan b saling membentuk sudut 90° (A)

 

13.  Diketahui titik A (2,7,8), B (-1,1,-1) dan C (0,3,2). Jika  mewakili  dan  mewakili   ,maka proyeksi orthogonal vector pada adalah

Jawab:

BC= c-b

 

AB=(-1,1,-1)-(2,7,8)

=(-3,-6,-9)

 

BC=(0,3,2)-(-1,1,-1)

=(1,2,3)

 

e= u•v/|v|² . v

=(-3•1)+(-6•2)+(-9•3)/(√1²+2²+3²)²kali (1,2,3)

=-3-12-27/(√14)² kali (1,2,3)

=-42/14 kali (1,2,3)

= -3(1,2,3)

= (-3,-6,-9) = -3i - 6j -9k (A)

 

14.  Jika diketahui vector  = 2– 3   + 6 dan vector = + p  -  saling tegak lurus ,maka nilai p adalah

Jawab:

Saling tegak lurus, maka
a . b = 0
(2,-3,6) . (1,p,-1) = 0
2 + (-3p) + (-6) = 0
-3p - 4 = 0
p = -4/3(B)

15.  Diketahui vector = 5 +   + 7  dan =3 -  +2  . proyeksi orthogonal vector  pada  adalah

Jawab:

= .

 

= .

 

= .  

=.2 .

= 2. (3 -  +2  )

=6 - 2  +4  (B)

 

16.  Diketahui =   dan  =  jika  adalah proyeksi terhadap  dan  = ,maka nilai y yang memenuhi adalah

Jawab:

Proyeksi a pada b
|z| = a.b / |b|
½ √y² + 8 = (8 - 2y) /√y² + 8
½ (√y² + 8) (√y² + 8) = 8 - 2y
y² + 8 = 2 (8 - 2y)
y² + 8 = 16 - 4y
y² + 4y - 8 = 0



y= -4+4 akar 3.2 atau y=-42 akar 3.2

  = C.-2+2     

 

17.  Missal vector dan = a +a  - b   . sudut antara vector dan adalah dengan cos .Proyeksi vector pada adalah. Nilai  a adalah

Jawab:

Kita coba siapkan terlebih dahulu perkalian titik (dot product) dari vektor u dan vektor v.

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%7Bu%7D%20.%20%5Cvec%7Bv%7D%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Db%5C%5Ca%5C%5C9%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20.%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Da%5C%5C-b%5C%5Ca%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%7Bu%7D%20.%20%5Cvec%7Bv%7D%20%3D%20(b)(a)%20%2B%20(a)(-b)%20%2B%20(9)(a)%20%3D%209a

Langkah pertama adalah membentuk persamaan dari vektor-vektor u dan v terkait cosinus sudut antara keduanya.

Rumus cosinus sudut vektor u dan v

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B~cos%20%5Ctheta%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cvec%7Bu%7D%20.%20%5Cvec%7Bv%7D%7D%7B%7C%5Cvec%7Bu%7D%7C%7C%5Cvec%7Bv%7D%7C%7D~%7D

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B6%7D%7B11%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Bb%2C%20a%2C%209%5D.%5Ba%2C%20-b%2C%20a%5D%7D%7B%5Csqrt%7Bb%5E2%20%2B%20a%5E2%20%2B%209%5E2%7D.%5Csqrt%7Ba%5E2%20%2B%20(-b)%5E2%20%2B%20a%5E2%7D%7D

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B6%7D%7B11%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B9a%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%20%2B%2081%7D.%5Csqrt%7B2a%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%7D

Sederhanakan dengan kedua pembilang dibagi 3.

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%7D%7B11%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3a%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%20%2B%2081%7D.%5Csqrt%7B2a%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%7D

Kita sebut sebagai Persamaan-1.

Langkah kedua adalah membentuk hubungan antara vektor v dengan vektor proyeksi u pada v yaitu vektor p.

Vektor proyeksi u pada v adalah vektor p, yakni

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbig(%20%5Cfrac%7B(%5Cvec%7Bu%7D.%5Cvec%7Bv%7D)%7D%7B%7C%5Cvec%7Bv%7D%7C%5E2%7D%20%5Cbig)%20%5Cvec%7Bv%7D%20%3D%20%5Cvec%7Bp%7D

 

 

Kita misalkan https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B9a%7D%7B2a%5E2%20%2B%20b%5E2%7D sebagai k yaitu faktor pembanding (atau pengali).

https://tex.z-dn.net/?f=k%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Da%5C%5C-b%5C%5Ca%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%5C%5C-2%5C%5C4%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D

Dapat disimpulkan bahwa jika vektor proyeksi u pada v adalah p, maka terdapat hubungan https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B~k%20%5Cvec%7Bv%7D%20%3D%20%5Cvec%7Bp%7D~%7D

Diperoleh ka = 4, kb = 2, dan ka = 4.

Dari k = ⁴/ₐ disubsitusikan ke kb = 2 menjadi  (⁴/ₐ)b = 2 lalu menjadi 4b = 2a.

Selanjutnya diperoleh hubungan a = 2b sebagai Persamaan-2.

Substitusikan Persamaan-2 ke Persamaan-1.

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%7D%7B11%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3(2b)%7D%7B%5B%5Csqrt%7B(2b)%5E2%2B%20b%5E2%2B%2081%7D%5D%5B%5Csqrt%7B2(2b)%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%5D%7D

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B11%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3b%7D%7B%5B%5Csqrt%7B5b%5E2%20%2B%2081%7D%5D%5B%5Csqrt%7B9b%5E2%7D%5D%7D

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B11%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3b%7D%7B%5B%5Csqrt%7B5b%5E2%20%2B%2081%7D%5D%5B3b%5D%7D

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B11%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B5b%5E2%20%2B%2081%7D%7D

Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar kuadrat.

https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B121%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B5b%5E2%20%2B%2081%7D

Kalikan silang.

5b² + 81 = 121

5b² - 40 = 0

Sederhanakan kedua ruas dengan dibagi 5.

b² - 8 = 0

Faktorkan.

 

(b - √8)(b + √8) = 0

Untuk b = √8 diperoleh b = C.2√2

 

18.  Jika  = 2x  ,dan  adalah proyeksi vector   ke  , maka  untuk

Jawab:

 [x+1] [x-2]0

 

19.  Vector  dan vector adalah vector searah. Sebab

Nilai  = 18

Jawab:

C. PERNYATAAN BENAR, ALASAN SALAH

20.  Segitiga ABC dengan koordinat titik sudur A(4,7,0), B(6,10,-6) dan C(1,9,0) merupakan segitiga siku-siku.

Sebab

Nilai

A.PERNYATAAN BENAR,ALASAN BENAR,DAN MEMPUNYAI HUBUNGAN SEBAB AKIBAT.

Komentar

Posting Komentar